ARITMATIKA KOMPUTER

Aritmatika Komputer

Pengertian ALU

 

• Dalam sistem bilangan biner , semua bilangan dapat direpresentasikan dengan hanya menggunakan bilangan 0 dan 1, tanda minus, dan tanda titik.

Misalnya: -1101.01012 = -11.312510

• Namun untuk keperluan penyimpanan dan pengolahan komputer, kita tidak perlu menggunakan tanda minus dan titik.
• Hanya bilangan biner (0 dan 1) yang dapat merepresentasikan bilangan.
• Bila kita hanya memakai integer non-negatif, maka representasinya akan lebuh mudah.
• Sebuah word 8-bit dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan 0 hingga 255. Misalnya:

00000000= 0

00000001= 1

00101001 = 41

  10000000  = 128

   11111111= 225

• Umumnya bila sebuah rangkaian n-bit bilangan biner a_n-1a_n-2…a₁a₀ akan diinterpretasikan sebagai unsigned integer A.

Representasi Nilai Tanda

• Penggunaan unsigned integer tidak cukup untuk merepresentasikan bilangan integer negatif dan juga bilangan positif integer.

• Karena itu terdapat beberapa konvesi lainnya yang dapat kita gunakan.

• Konvesi-konvesi lainnya meliputi perlakuan terhadap bit yang paling berarti (paling kiri) di dalam word bit tanda.

• Apabila bit paling kiri sama dengan 0 suatu bilangan adalah positif , sedangkan bila bit yang paling kiri sama dengan 1 bilangan bernilai negatif.
• Bentuk yang paling sederhana representasi yang memakai bit tanda representasi nilai tanda. Pada sebuah word n bit, n – 1 bit yang paling kanan menampung  nilai integer. Misalnya:

+ 18 = 00010010

-  18 = 10010010 (sign-magnitude/nilai-tanda)

• Terdapat beberapa kekurangan pada representasi nilai-tanda penambahan dan pengurangan memerlukan pertimbangan baik tanda bilangan ataupun nilai relatifnya agar dapat berjalan pada operasi yang diperlukan.

• Kekurangannya lainnya terdapat dua representasi bilangan 0:

+ 0₁₀ = 00000000

-  0₁₀ = 10000000 (sign-magnitude)

REPRESENTASI KOMPLEMEN DUA

• Representasi komplemen dua ( two’s complement representation)  mengatasi dua buah kekurangan yang terdapat pada representasi nilai- tanda.
• Penambahan dan pengurangan   nilai-tanda (sign-magnitude) tidak mencukupi dan terdapat dua buah representasi bilangan nol.

• Representasi komplemen dua menggunakan bit yang paling berarti sebagai bit tanda  memudahkannya untuk mengetahui apakah sebuah integer bernilai positif atau negatif.

• Representasi ini berbeda dengan representasi nilai-tanda dengan cara menginterpretasikan bit-bit lainnya.

• Representasi komplemen dua akan lebih mudah dimengerti dengan mendefinisikannya dalam bentuk jumlah bobot bit  seperti telah kita lakukan diatas pada representasi unsigned-magnitude dan sign-magnitude.

• Bilangan nol akan diidentifikasikan sebagai positif,  memiliki tanda bit 0 dan nilai keseluruhan 0.

• Kita dapat melihat bahwa range integer positif yang dapat direpresentasikan mulai 0 (seluruh magnitude bit-nya sama dengan 0) hingga 2^n-1-1 (seluruh magnitude bit-nya 1).   bilangan yang lebih besar akan memerlukan bit yang lebih banyak.
• Sekarang  bilangan negatif A, bit tanda a^n-1, sama dengan 1. ^n-1 bit sisanya dapat mengambil salah satu dari 2^n-1 nilai.
• Karena itu, range integer negatif yang dapat direpresentasikan  mulai –1 hingga -2^n-1.
• Hasilnya  assignment yang mudah bagi nilai  untuk membiarkan bit-bit an-1 a_n-2…a:a₀ akan sama dengan bilangan positif 2_n-1 –A.

KONVERSI ANTARA PANJANG BIT YANG BERLAINAN

• Kadang-kadang kita perlu mengambil sebuah integer n bit dan menyimpannya di dalam m bit, dengan m > n.

• Pada notasi sign-magnitude  mudah dilaksanakan: cukup memindahkan bit tanda ke posisi terkiri yang baru dan mengisinya dengan nol. Misalnya:

+18 =                        00010010    (sign-magnitude, 8 bit)

+18 =         0000000000010010    (sign-magtitude, 16 bit)

-18 =                          10010010    (sign-magnitude, 8 bit)

-18 =          1000000000010010    (sign-magtitude, 16 bit)

• Prosedur di atas tidak berlaku bagi integer negatif komplemen dua. Dengan memakai contoh yang sama:

+18 =                       00010010    (komplemen dua, 8 bit)

+18 =        0000000000010010    (komplemen dua, 16 bit)

-18 =                        10010010    (komplemen dua, 8 bit)

-65.518 =  1000000000010010     (komplemen dua, 16 bit)

• Aturan integer komplemen dua adalah untuk memindahkan bit tanda ke posisi terkiri yang baru dan mengisinya dengan salinan-salinan bit tanda.
• Bilangan positif diisi dengan 0 dan  bilangan negatif isi dengan 1

-18 =                          10010010    (komplemen dua, 8 bit)

-18 =          1111111100010010    (komplemen dua, 16 bit)

Aritmetika Integer

Bagian ini akan membahas fungsi-fungsi aritmatik bilangan dalam representasi komplemen dua.

A. Negasi

Pada notasi komplemen dua, pengurangan sebuah bilangan integer dapat dibentuk dengan mengunakan aturan berikut:

Anggaplah komplemen boolean seluruh bit bilangan integer (termasuk bittanda). Perlakukan hasilnya sebagai sebuah unsigned binary integer, tambahkan1. misalnya:18=00010010 (komplemen dua).

b.  Representasi Integer Positif,negatif,dan bilangan 0.

• Bila sebuah bilangan integer positif dan negatif yang sama direpresentasikan (sign – magnitude),maka harus ada representasi bilangan positif dan negatif yang tidak sama.
• Bila hanya terdapat sebuah representasi bilangan 0 (komplemen dua),maka harus ada representasi bilangan positif dan negatif yang tidak sama.
• Pada kasus komplemen dua,terdapat representasi bilangan n-bit untuk -2n,tapi tidak terdapat untuk 2n.

FLOATING POINT REPRESENTATION

Dalam komputasi floating point menjelaskan metode mewakili perkiraan dari sejumlah nyata dalam cara yang dapat mendukung berbagai nilai . Jumlahnya , secara umum , mewakili sekitar untuk tetap jumlah digit yang signifikan ( mantissa ) dan ditingkatkan menggunakan eksponen .

Dengan asumsi bahwa resolusi terbaik adalah di tahun cahaya , hanya 9 desimal yang paling signifikan digit materi , sedangkan sisanya 30 digit membawa suara murni , dan dengan demikian dapat dengan aman dijatuhkan. Ini merupakan penghematan dari 100 bit penyimpanan data komputer . Alih-alih dari 100 bit , jauh lebih sedikit digunakan untuk mewakili skala ( eksponen ) , misalnya 8 bit atau 2 digit desimal .

Istilah floating point mengacu pada fakta bahwa nomor itu radix point ( titik desimal , atau , lebih umum pada komputer , titik biner ) dapat “mengambang” , yang , dapat ditempatkan di manapun relatif terhadap angka yang signifikan dari nomor tersebut. Posisi ini diindikasikan sebagai komponen eksponen dalam representasi internal , dan floating point sehingga dapat dianggap sebagai realisasi komputer notasi ilmiah .
Selama bertahun-tahun , berbagai representasi floating-point telah digunakan dalam komputer . Namun, sejak tahun 1990 , representasi paling sering ditemui adalah bahwa didefinisikan oleh IEEE 754 standar .    Dalam notasi ilmiah , jumlah yang diberikan ditingkatkan oleh kekuatan 10 sehingga terletak dalam kisaran tertentu – biasanya antara 1 dan 10 , dengan titik radix muncul segera setelah angka pertama . The faktor skala , sebagai kekuatan sepuluh , kemudian ditunjukkan secara terpisah pada akhir nomor . Misalnya, periode revolusi bulan Jupiter Io adalah 152853.5047 detik , nilai yang akan diwakili dalam notasi ilmiah standar – bentuk sebagai 1,528535047 × 105 detik .
Representasi floating-point mirip dalam konsep notasi ilmiah . Logikanya , angka floating -point terdiri dari:

1.     Sebuah ditandatangani ( yang berarti positif atau negatif ) string yang digit panjang diberikan dalam dasar yang diberikan ( atau radix ) . String ini digit disebut sebagai significand , koefisien atau , lebih jarang , mantissa ( lihat di bawah ) . Panjang significand menentukan presisi yang nomor dapat diwakili. Radix Posisi titik diasumsikan untuk selalu berada di suatu tempat dalam significand – sering hanya setelah atau sebelum yang paling signifikan digit , atau di sebelah kanan paling kanan (paling signifikan ) digit . Artikel ini umumnya akan mengikuti konvensi bahwa titik radix hanya setelah paling signifikan ( paling kiri ) digit .

2.      Sebuah integer ditandatangani eksponen , juga disebut sebagai karakteristik atau skala , yang memodifikasi besarnya nomor .
Untuk memperoleh nilai dari angka floating-point , seseorang harus kalikan significand dengan dasar pangkat dari eksponen , setara dengan menggeser radix poin dari posisi tersirat oleh sejumlah tempat sama dengan nilai eksponen – ke kanan jika eksponen positif atau ke kiri jika eksponen negatif.
Menggunakan basis- 10 ( notasi desimal akrab ) sebagai contoh , jumlah 152853,5047 , yang memiliki sepuluh angka desimal presisi , diwakili sebagai significand 1,528535047 bersama dengan eksponen 5 ( jika posisi tersirat dari radix point setelah pertama yang paling signifikan digit, di sini 1 ). Untuk menentukan nilai yang sebenarnya , titik desimal ditempatkan setelah digit pertama significand dan hasilnya dikalikan dengan 105 untuk memberikan 1,528535047 × 105 , atau 152853,5047. Dalam menyimpan nomor tersebut , dasar ( 10 ) tidak perlu disimpan , karena akan sama untuk seluruh kisaran angka didukung , dan dengan demikian dapat disimpulkan .
Secara simbolis , ini adalah nilai akhirdimana  adalah nilai significand            ( setelah memperhitungkan tersirat radix point) , B adalah dasar, dan E adalah eksponen.
ekuivalen : di mana s di sini berarti nilai integer dari seluruh significand , mengabaikan semua titik desimal tersirat , dan p adalah – presisi jumlah digit di significand tersebut .
Secara historis , beberapa pangkalan nomor telah digunakan untuk mewakili angka floating -point , dengan basis 2 ( biner ) yang paling umum, diikuti oleh basis 10 ( desimal ) , dan varietas yang kurang umum lainnya , seperti basis 16 ( notasi heksadesimal ) , sebagai serta beberapa yang eksotis seperti 3 (lihat Setun ) .
Angka floating-point adalah bilangan rasional karena mereka dapat direpresentasikan sebagai salah satu bilangan bulat dibagi dengan yang lain . Misalnya 1,45 × 103 adalah (145 /100) * 1000 atau 145000/100 . Dasar namun menentukan pecahan yang dapat diwakili . Misalnya , 1/ 5 tidak dapat diwakili tepat sebagai angka floating-point menggunakan basis biner tetapi dapat diwakili tepat menggunakan basis desimal ( 0,2 , atau 2 × 10-1. Namun 1/3 tidak dapat diwakili tepat oleh salah biner ( 0,010101 … ) atau desimal ( 0,333 ./ ) , tetapi dalam basis 3 itu adalah sepele ( 0,1 atau 1 × 3-1 ) .

Kesempatan di mana ekspansi terbatas terjadi tergantung pada dasar dan faktor utama, seperti yang dijelaskan dalam artikel tentang Notasi Positional, Cara di mana significand tersebut , eksponen dan tanda bit secara internal disimpan di komputer sangat tergantung dari implementasi .

Secara Umum format IEEE dijelaskan secara rinci nanti dan di tempat lain , tetapi sebagai contoh , dalam representasi ( 32 -bit ) floating-point presisi tunggal biner p = 24 dan seterusnya significand adalah string dari 24 bit . Misalnya , jumlah π pertama 33 bit adalah 11001001 00001111 11011010 10100010 0 . Mengingat bahwa bit -24 adalah nol , pembulatan sampai 24 bit dalam mode biner berarti menghubungkan bit -24 dengan nilai 25 yang menghasilkan 11.001.001 00.001.111 11.011.011 . Ketika ini disimpan menggunakan pengkodean IEEE 754 , ini menjadi significand dengan e = 1 (di mana s diasumsikan memiliki titik biner di sebelah kanan bit pertama ) setelah kiri penyesuaian ( atau normalisasi ) selama memimpin atau tertinggal nol terpotong harus ada apapun .

Floating Point Arithmetic

Sistem penempatan titik desimal dengan cara membagi word menjadi dua bagian. Satu bagian berisi angka pecahan, sebagian lainnya merupakan eksponen dari sepuluh. Posisi efektif dari titik desimal akan berubah ketika eksponennya diubah. Sistem ini digunakan untuk menyatakan hasil perhitungan yang sangat besar atau sangat kecil.

1. Bentuk Bilangan Floating Point

Bilangan Floating Point memiliki bentuk umum : + m * b e , dimana m (disebut juga dengan mantissa), mewakili bilangan pecahan dan umumnya dikonversi ke bilangan binernya, e mewakili bilangan exponentnya, sedangkan b mewakili radix (basis) dari exponent.

2. Macam-macam

bentuk bilangan floating point; Untuk mempermudah operasi bilangan floating point dan menambah tingkat presisinya, maka bilangan tersebut dibuat dalam bentuk ternormalisasi (normalized forms). Suatu bilangan floating point telah ternormalisasi jika most significant bit (MSB) dari mantissanya adalah 1. Karena itu, diantara ketiga bentuk diatas dari bilangan 1,75, maka bentuk yang telah ternormalisasi adalah bentuk yang paling atas, dan disarankan untuk digunakan. Karena nilai MSB dari bilangan Floating Point yang telah ternormalisasi selalu 1, maka bit ini tidak disimpan, sehingga nilai mantissa yang tersimpan adalah 1.m. Sehingga untuk bilangan floating point bukan nol yang ternormalisasi memiliki bentuk (1) S * (1.m) * 2 e128

3. Aritmetika Floating Point Penjumlahan / Pengurangan

Hal yang sulit dari penjumlahan dua bilangan exponent adalah jika bilangan bilangan tersebut memiliki bentuk exponensial yang berbeda. Unutk memecahkannya, maka sebelum ditambahkan bilangan exponensialnya harus disetarakan terlebih dahulu, atau bilangan dengan nilai exponent lebih kecil disamakan dulu ke bilangan exponent yang sama dengan bilangan lain.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk menambah/mengurangkan dua bilangan floating point:

1. Bandingkan kedua bilangan, dan ubah ke bentuk yang sesuai pada bilangan dengan nilai exponensial lebih kecil

2. Lakukan operasi penjumlahan / pengurangan

3. Lakukan normalisasi dengan ’menggeser’ nilai mantissa dan mengatur nilai exponensialnya

Contoh : Jumlahkan dua bilangan floating point 1,1100 * 2 4 dan 1,1000 * 2 2

1. Sesuaikan : 1,1000 * 2 2 diubah menjadi 0,0110 * 2 4

2. Jumlahkan : hasil penjumlahan 10,0010 * 2 4

3. Normalisasi : hasil setelah dinormalisasi adalah 0,1000 * 2 6 ( dianggap bit

yang diijinkan setelah koma adalah 4)

4. Perkalian

Perkalian dari dua bilangan floating point dengan bentuk X = mx * 2 a dan Y = mx * 2 b setara dengan X * Y = (mx * my) * 2 a+b.

Algoritma umum untuk perkalian dari bilangan floating point terdiri dari tiga langkah:

1. Hitung hasil exponensial dengan menjumlahkan nilai exponent dari kedua

bilangan

2. Kalikan kedua bilangan mantissa

3. Normalisasi hasil akhir

Contoh : Perkalian antara dua bilangan floating point X = 1,000 * 2 2

dan Y = 1,010*2 1

1. Tambahkan bilangan exponennya : 2+ (1) = 3

2. Kalikan mantissa: 1,0000 * 1,010 = 1,010000 Hasil perkaliannya adalah 1,0100 * 2 3

5. Pembagian

Pembagian dari dua bilangan floating point dengan bentuk X = mx * 2 a dan Y = mx * 2 b setara dengan X / Y = (mx / my) * 2 ab.

Algoritma umum untuk pembagian dari bilangan floating point terdiri dari tiga langkah :

1. Hitung hasil exponensial dengan mengurangkan nilai exponent dari kedua bilangan

2. Bagi kedua bilangan mantissa

3. Normalisasi hasil akhir

Contoh : Pembagian antara dua bilangan floating point X = 1,0000 * 2 2 dan Y = 1,0100 * 2 1

1. Kurangkan bilangan exponennya : 2 – (1) = 1

2. Bagi mantissa: 1,0000 / 1,0100 = 0,11015

Hasil pembagiannya adalah 0,1101 * 2 1

6. Floating Point standard IEEE

IEEE membuat dua bentuk bilangan floating point standard. Bentuk basic dan bentuk extended. Pada tiap bentuk tersebut, IEEE menentukan dua format, yaitu singleprecision dan double precision format. Single precision format adalah model 32bit sedangkan double precision format adalah 64bit. Pada single extended format setidaknya menggunakan 44 bit, sedangkan pada double extended format setidaknya menggunakan 80 bit.

IEEE single precision Format

Jika jumlah bit bilangan exponent adalah 8, maka nilainya memiliki 256 kombinasi, diantara angkaangka tersebut, dua kombinasi digunakan sebagai nilai khusus:

1. e = 0 bernilai nol (jika m = 0) dan nilai terdenormalisasi (jika m ≠ 0)

2. e = 255 bernilai + ∞ (jika m = 0) dan nilai tak terdefinisi (jika m ≠ 0)

m = 0 m ≠ 0

e = 0 0 Terdenormalisasi

e = 255 + ∞ Tidak Terdefinisi

IEEE Double Precision Format

Bentuk ini memiliki kolom exponent 11 bit dan kolom nilai mantissa sebesar 52 bit.

IEEE double precision format

Karakteristik SinglePrecision

Double Precision

Panjang dalam bits 32 64

Bagian pecahan dalam bits 23 52

Bit tersembunyi 1 1

Panjang Exponent dlm bits 8 11

Bias 127 1023

Range 2 128 ≈ 3,8 x 10 38 2 1024 ≈ 9,0 x 10 307

Nilai ternormalisasi terkecil 2 126

≈ 10 38

2 1022

≈ 10 308

Kesimpulan

Jadi ALU ini bagian komputer yang berfungsi buat membentuk operasi-operasi aritmatika dan logik terhadap data. Aritmatika komputer dibentuk dua jenis bilangan yang sangat berbeda, yaitu integer dan floating point. Pada kedua jenis bilangan tersebut, pemilihan representasi merupakan masalah rancangan yang sangat kritis.

Sumber :

http:/www.scribd.com/doc/44878552/representasi-Floating-Point-2

http://id.wikipedia.org/wiki/Unit_aritmatika_dan_logika

http://goo.gl/qCX8R1

http://riskydwiyanti.wordpress.com/2013/10/20/integer-representation/

http://www.scribd.com/doc/44878552/Representasi-Floating-Point-2

http://mulianam292.wordpress.com/2013/10/31/integer-arithmetic-and-floating-poin-representation/